ΡΙΖΕΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Κλασικό πρόβλημα των στοιχειωδών μαθηματικών είναι η εύρεση μιας τιμής $\rho$ τέτοιας, ώστε για μια συνάρτηση $f\left( {x} \right),\,x \in \left( {a,b} \right)$ να ισχύει:

$$f\left( \rho \right) = 0$$ (1)

Η βασική διαδικασία για την εύρεση ριζών μη-γραμμικών εξισώσεων είναι η δημιουργία μιας αναδρομικής σχέσης. Η διαδικασία αυτή θα ακολουθηθεί και στην εύρεση ριζών γραμμικών και μη-γραμμικών συστημάτων, αλλά και στην αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Επομένως, σε κάθε μέθοδο που θα αναπτύξουμε, στόχος μας είναι η εύρεση αναδρομικών σχέσεων της μορφής

$$x_{n + 1} = \sigma \left( {x_{n}} \right)$$ (2)

που θα δίνει μια ακολουθία τιμών $x_{0} ,x_{1} , \ldots ,x_{\kappa} , \ldots$ και στο όριο $\kappa \to \infty$ να δίνει τη ρίζα της εξίσωσης (1.1).

Τα βασικά ερωτήματα που καλούμαστε να απαντήσουμε κατά την ανάπτυξη των διαφόρων μεθόδων είναι:

• Κάτω από ποιες συνθήκες συγκλίνει μια μέθοδος
• Αν συγκλίνει, πόσο γρήγορα συγκλίνει
• Πώς θα βρεθεί η αρχική τιμή $x_{0}$.